Maths Formulas 2026: Algebra और Geometry के
सभी महत्वपूर्ण सूत्र — Railway Group D & NTPC
बीजगणित सर्वसमिकाएँ, द्विघात समीकरण, बहुपद, त्रिभुज, वृत्त, चतुर्भुज — वो सभी Formulas जो RRB Group D, NTPC, ALP में बार-बार आते हैं — एक ही पेज पर।
Railway Group D और RRB NTPC में गणित का section सबसे scoring होता है — क्योंकि यहाँ सही Formulas याद हों तो जवाब 100% सही होता है। Maths Formulas in Hindi में Algebra और Geometry के सूत्र सबसे ज्यादा बार repeat होते हैं। इस लेख में वो हर Formula दिया गया है जो Railway की किसी भी परीक्षा में काम आता है।
Railway में Algebra & Geometry से कितने प्रश्न आते हैं?
RRB Group D में Mathematics section में कुल 25 प्रश्न होते हैं और RRB NTPC CBT-1 में 30 प्रश्न। इनमें से Algebra और Geometry मिलकर लगभग 8-12 प्रश्न हर बार लाते हैं।
| Topic | Group D में प्रश्न | NTPC में प्रश्न | Difficulty |
|---|---|---|---|
| बीजगणित सर्वसमिकाएँ | 2–3 | 2–3 | High |
| द्विघात समीकरण | 1–2 | 2–3 | High |
| त्रिभुज (Triangle) | 2–3 | 2–3 | High |
| वृत्त (Circle) | 1–2 | 1–2 | Medium |
| चतुर्भुज / Lines & Angles | 1–2 | 1–2 | Medium |
| क्षेत्रमिति (Mensuration) | 2–3 | 2–3 | High |
🎯
RRB Group D Algebra & Geometry Strategy:
Algebra और Geometry के Formulas एक बार याद कर लो — यह section पूरे paper में सबसे ज्यादा “sure marks” देता है। 1/3 Negative Marking है, इसलिए बिना Formula जाने guess मत करो।
बीजगणित सर्वसमिकाएँ (Algebraic Identities)
Railway Group D में बीजगणित से सर्वसमिकाएँ (Algebraic Identities) सबसे ज्यादा repeat होती हैं। नीचे वो सभी Identities दी गई हैं जो Maths Formulas for Railway Group D में सबसे जरूरी हैं।
मूल सर्वसमिकाएँ (Basic Identities)
1
(a + b)² = a² + 2ab + b²
उदाहरण: (x + 3)² = x² + 6x + 9
2
(a − b)² = a² − 2ab + b²
उदाहरण: (x − 4)² = x² − 8x + 16
3
(a + b)(a − b) = a² − b²
उदाहरण: (x + 5)(x − 5) = x² − 25 | Railway में सबसे ज्यादा बार आता है!
4
(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
उदाहरण: (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6
5
(a + b)² + (a − b)² = 2(a² + b²)
RRB NTPC 2021 में पूछा गया था — जरूर याद रखें
6
(a + b)² − (a − b)² = 4ab
इससे जल्दी ab निकाल सकते हो जब a+b और a−b दिए हों
घन सर्वसमिकाएँ (Cubic Identities) — Railway में Repeat होती हैं
7
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Short form: (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)
8
(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
Short form: (a − b)³ = a³ − b³ − 3ab(a − b)
9
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
RRB Group D 2022 में पूछा — बहुत Important!
10
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
उदाहरण: 8 − 27 = (2−3)(4+6+9) = (−1)(19) = −19
11
a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)
अगर a + b + c = 0 हो तो a³ + b³ + c³ = 3abc — Railway में बहुत पूछते हैं!
12
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
इससे a² + b² + c² निकालते हैं जब a+b+c दिया हो
Important Derived Formulas — RRB में बार-बार पूछे जाते हैं
जब x + 1/x = k दिया हो (Railway में Most Repeated Pattern)
- ★x + 1/x = k → x² + 1/x² = k² − 2Step: दोनों sides square करो → x² + 2 + 1/x² = k² → x² + 1/x² = k² − 2
- ★x − 1/x = k → x² + 1/x² = k² + 2यहाँ square करने पर −2 नहीं बल्कि +2 घटाना होगा
- →x + 1/x = k → x³ + 1/x³ = k³ − 3kFormula: (a+b)³ − 3ab(a+b) जहाँ a=x, b=1/x, ab=1
- →x − 1/x = k → x³ − 1/x³ = k³ + 3k
द्विघात समीकरण (Quadratic Equations)
RRB NTPC CBT-2 में द्विघात समीकरण से 2-3 प्रश्न जरूर आते हैं। Quadratic Equation का Standard Form है: ax² + bx + c = 0 जहाँ a ≠ 0
1
Quadratic Formula: x = [−b ± √(b² − 4ac)] / 2a
यही सबसे जरूरी Formula है — सभी Quadratic Equations इससे solve होते हैं
Discriminant (D) — तीनों Cases
| Discriminant D = b² − 4ac | Roots की प्रकृति |
|---|---|
| D > 0 | दो अलग-अलग वास्तविक मूल (Two distinct real roots) |
| D = 0 | दो बराबर वास्तविक मूल (Two equal real roots) — x = −b/2a |
| D < 0 | कोई वास्तविक मूल नहीं (No real roots — Complex roots) |
Vieta’s Formulas — Roots का योग और गुणनफल
अगर α और β द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल हों, तो:
- ★α + β = −b/a (मूलों का योग)उदाहरण: x² − 5x + 6 = 0 में α + β = 5
- ★α × β = c/a (मूलों का गुणनफल)उदाहरण: x² − 5x + 6 = 0 में α × β = 6, इसलिए मूल 2 और 3 हैं
- →α² + β² = (α + β)² − 2αβ
- →|α − β| = √[(α+β)² − 4αβ] = √D/|a|
⚡ Shortcut: Factorization Method — Railway में सबसे Fast तरीका
x² + 5x + 6 = 0 को solve करना हो तो: दो ऐसे numbers ढूंढो जिनका योग = 5 और गुणनफल = 6 हो → वो हैं 2 और 3 → (x+2)(x+3) = 0 → x = −2 या x = −3
बहुपद (Polynomials) — जरूरी सूत्र
Factor Theorem & Remainder Theorem
- ★Factor Theorem: यदि p(a) = 0, तो (x − a) बहुपद p(x) का एक गुणनखंड है।
- ★Remainder Theorem: p(x) को (x − a) से divide करने पर शेषफल = p(a)उदाहरण: p(x) = x³ − 4x + 2 को (x−1) से divide करें → शेषफल = p(1) = 1−4+2 = −1
बहुपद के मूलों का सूत्र — Degree के अनुसार
| बहुपद | मूलों का योग | मूलों का गुणनफल |
|---|---|---|
| ax² + bx + c (Quadratic) | −b/a | c/a |
| ax³ + bx² + cx + d (Cubic) | −b/a | −d/a |
| ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e (Biquadratic) | −b/a | e/a |
रेखाएँ और कोण (Lines & Angles)
Railway Group D में Lines & Angles से हर साल 1-2 प्रश्न आते हैं। ये Properties याद कर लो — 1 मिनट में solve हो जाएंगे।
कोणों के प्रकार और Properties
- →Complementary Angles: दो कोणों का योग = 90°जैसे 35° और 55° — दोनों complementary हैं
- →Supplementary Angles: दो कोणों का योग = 180°
- ★Vertically Opposite Angles बराबर होते हैंजब दो रेखाएँ intersect करती हैं — सामने वाले कोण equal होते हैं
- ★Transversal: Alternate Interior Angles बराबर होते हैं
- ★Transversal: Co-interior Angles का योग = 180°
- →Corresponding Angles बराबर होते हैं (Parallel lines में)
- →एक सीधी रेखा पर बने सभी कोणों का योग = 180°
- →एक बिंदु के चारों ओर के सभी कोणों का योग = 360°
त्रिभुज (Triangles) — सभी सूत्र
Railway की किसी भी परीक्षा में Triangle सबसे ज्यादा Marks देने वाला topic है। Geometry Formulas for Railway में Triangle के Properties सबसे पहले याद करें।
त्रिभुज के मूल गुण (Basic Properties)
- ★त्रिभुज के तीनों कोणों का योग = 180°Angle Sum Property — Railway में सीधे पूछते हैं
- ★Exterior Angle = दूसरे दो Interior Angles का योगजैसे: ∠ACD = ∠A + ∠B
- →समकोण त्रिभुज: Pythagorean Theorem → a² + b² = c²जहाँ c = Hypotenuse (सबसे बड़ी भुजा)
- ★Pythagorean Triplets: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25), (6,8,10)इन्हें याद रखो — Railway में direct इन्हीं पर based सवाल आते हैं
त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of Triangle)
Standard Formula सबसे Common
- Area = ½ × आधार × ऊँचाई
- Area = ½ × b × h
Heron’s Formula तीनों भुजाएँ दी हों
- s = (a + b + c)/2 (semi-perimeter)
- Area = √[s(s−a)(s−b)(s−c)]
समबाहु त्रिभुज Equilateral Triangle
- Area = (√3/4) × a²
- Perimeter = 3a
- Height = (√3/2) × a
समद्विबाहु त्रिभुज Isosceles Triangle
- Area = (b/4)√(4a² − b²)
- जहाँ a = equal sides, b = base
त्रिभुज की Similarity & Congruency — Railway Repeated
- ★Similar Triangles: AA (Angle-Angle), SSS, SASSimilar triangles में: Sides proportional, Angles equal
- ★Similar Triangles: Areas का Ratio = Sides के Ratio का वर्गअर्थात A₁/A₂ = (a₁/a₂)² — RRB Group D 2022 में पूछा था
- →Basic Proportionality Theorem (Thales): DE ∥ BC हो तो AD/DB = AE/EC
- →Mid Point Theorem: मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा = तीसरी भुजा की आधी और parallel
त्रिभुज के विशेष बिंदु (Special Points)
| बिंदु | परिभाषा | Railway में Use |
|---|---|---|
| Centroid (केन्द्रक) | तीनों Medians का intersection | Centroid, Median को 2:1 में बाँटता है |
| Incenter (अंतःकेंद्र) | तीनों Angle Bisectors का intersection | अंदर बने वृत्त का केंद्र |
| Circumcenter (परिकेंद्र) | तीनों Perpendicular Bisectors का intersection | बाहर बने वृत्त का केंद्र |
| Orthocenter (लंबकेंद्र) | तीनों Altitudes का intersection | समकोण त्रिभुज में right angle vertex पर होता है |
वृत्त (Circles) — सभी सूत्र
RRB Group D में Circle के Properties से हर साल 1-2 प्रश्न आते हैं। ये Theorems एक बार समझ लो — फिर directly apply कर सकते हो।
वृत्त के मूल सूत्र
- ★परिधि (Circumference) = 2πr = πdजहाँ r = radius, d = diameter, π ≈ 22/7 या 3.14
- ★क्षेत्रफल (Area) = πr²
- →व्यास (Diameter) = 2r | त्रिज्या (Radius) = d/2
- →Sector का क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr²जहाँ θ = Sector का कोण (degrees में)
- →Arc की लंबाई = (θ/360°) × 2πr
Circle के Theorems — Railway में बार-बार आते हैं
Theorem 1 Angle at Center
- केंद्र पर बना कोण = परिधि पर बने कोण का दोगुना
- ∠AOB = 2 × ∠ACB
Theorem 2 Semicircle Angle
- अर्धवृत्त में बना कोण = 90°
- यानी व्यास पर बना कोण हमेशा समकोण होता है
Theorem 3 Same Arc Angles
- एक ही चाप पर बने सभी कोण बराबर होते हैं
- ∠ACB = ∠ADB (same arc AB पर)
Theorem 4 Tangent-Radius
- Tangent, radius पर 90° का कोण बनाती है
- OT ⊥ PT (T = tangent point)
Theorem 5 Tangents from Point
- बाहरी बिंदु से खींची गई दोनों Tangents बराबर
- PA = PB (P = external point)
Theorem 6 Chord & Distance
- केंद्र से chord पर लंब, chord को समद्विभाजित करता है
- AM = MB (M = foot of perpendicular)
Chord और Tangent — Secant Formulas
- ★Tangent-Secant: PT² = PA × PBजहाँ PT = Tangent की लंबाई, PA और PB = Secant के दो भाग
- ★Two Chords: PA × PB = PC × PDजब दो chords एक-दूसरे को P पर intersect करें
- →Chord की लंबाई = 2√(r² − d²)जहाँ d = केंद्र से chord की दूरी
चतुर्भुज (Quadrilaterals) — सभी सूत्र
📌 याद रखें: किसी भी चतुर्भुज के चारों कोणों का योग = 360° — यह Railway में सीधे पूछा जाता है।
| आकृति | क्षेत्रफल (Area) | परिमाप (Perimeter) | विशेषता |
|---|---|---|---|
| वर्ग (Square) | a² | 4a | Diagonal = a√2 |
| आयत (Rectangle) | l × b | 2(l + b) | Diagonal = √(l² + b²) |
| समांतर चतुर्भुज (Parallelogram) | b × h | 2(a + b) | Opposite sides equal & parallel |
| समचतुर्भुज (Rhombus) | ½ × d₁ × d₂ | 4a | d₁ और d₂ = diagonals |
| समलंब (Trapezium) | ½ × (a+b) × h | a+b+c+d | a और b = parallel sides |
| पतंग (Kite) | ½ × d₁ × d₂ | 2(a + b) | दो pairs of equal adjacent sides |
Parallelogram के Special Theorems — Railway Repeated
- ★Parallelogram के Diagonals एक-दूसरे को bisect करते हैं
- ★Rectangle के Diagonals बराबर और bisect करते हैं
- ★Rhombus के Diagonals 90° पर bisect करते हैं
- ★Square के Diagonals बराबर, 90° पर bisect करते हैं
क्षेत्रमिति (Mensuration) — 2D & 3D Formulas
Railway Group D में Mensuration से हर साल 2-3 प्रश्न जरूर आते हैं। 3D shapes के Formulas अक्सर miss हो जाते हैं — इन्हें जरूर याद करें।
3D आकृतियों के सूत्र
| आकृति | आयतन (Volume) | कुल पृष्ठ क्षेत्रफल (TSA) | Curved SA (CSA) |
|---|---|---|---|
| घन (Cube) | a³ | 6a² | — |
| घनाभ (Cuboid) | l × b × h | 2(lb + bh + hl) | — |
| बेलन (Cylinder) | πr²h | 2πr(r + h) | 2πrh |
| शंकु (Cone) | ⅓πr²h | πr(r + l) | πrl |
| गोला (Sphere) | ⁴⁄₃πr³ | 4πr² | 4πr² |
| अर्धगोला (Hemisphere) | ⅔πr³ | 3πr² | 2πr² |
📌 Cone में Slant Height: l = √(r² + h²) — यह बहुत जरूरी formula है। जब भी Cone में TSA माँगे तो पहले l निकालो।
✅ Railway में Mensuration के Most Repeated Patterns:
- Cylinder को melt करके Cone बनाना (Volume equal रखो)
- एक Sphere को melt करके कई छोटे Spheres बनाना
- Cube और Cuboid का Diagonal → d = √(l² + b² + h²)
- Wire को Cylinder के रूप में coil करना
तैयारी Tips & Shortcuts
🚂 Railway Group D Algebra & Geometry के लिए 7 जरूरी Tips:
- (a+b)² और (a−b)² — इन दोनों को visually याद करो: a² + 2ab + b² vs a² − 2ab + b²। Plus-Minus पर ध्यान रखो।
- Pythagorean Triplets याद करो: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25। Paper में जैसे ही 2 numbers दिखें, तुरंत तीसरा बताओ।
- π की value: जब answer में fraction हो तो π = 22/7 use करो। Decimal में π = 3.14 use करो।
- Cube Identities को short form में याद करो: a³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²) और a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²)।
- Circle Theorems: Semicircle = 90°, Center angle = 2× Circumference angle — यह दोनों direct questions में आते हैं।
- Similar Triangles: Area ratio = Side ratio का square। यह formula directly 2 marks दिलाता है।
- Negative Marking है RRB में (1/3) — बिना Formula जाने guess मत करो। पहले eliminate करो, फिर attempt करो।
⚡ Mental Math Shortcuts — Speed बढ़ाने के लिए:
- a² − b² = (a+b)(a−b) → 99² = (100+1)(100−1) से fast नहीं, बल्कि 99² = (100−1)² = 10000−200+1 = 9801
- किसी भी number का square: (a±b)² = a² ± 2ab + b² → 47² = (50−3)² = 2500−300+9 = 2209
- Equilateral triangle area: side² × 0.433 (≈ √3/4 ≈ 0.433)
- Circle area जब circumference दी हो: C = 2πr → r = C/2π → Area = πr² = C²/4π
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
Railway Group D में Algebra से कितने प्रश्न आते हैं? +
RRB Group D के Mathematics section में Algebra से आमतौर पर 3-4 प्रश्न आते हैं। इनमें Algebraic Identities, Linear Equations और Quadratic Equations शामिल हैं। यह section scoring है क्योंकि Formulas याद हों तो 30 seconds में solve होता है।
Maths Formulas in Hindi PDF कहाँ से download करें? +
इस page को bookmark कर लें — यहाँ सभी Formulas एक साथ हैं। Railway exam की official website rrbcdg.gov.in और testbook.com पर भी Maths Formula PDF मिलती है। UPSarkariJob.com पर भी Railway से जुड़े सभी study materials के links updated रहते हैं।
RRB NTPC में Geometry के कौन-से Theorems सबसे ज्यादा repeat होते हैं? +
RRB NTPC में Geometry से ये सबसे ज्यादा repeat होते हैं: (1) Semicircle में angle = 90°, (2) Tangents from external point equal होती हैं, (3) Similar Triangles में Area ratio = Side ratio², (4) Pythagorean Triplets — 3-4-5, 5-12-13, (5) Chord को bisect करने वाला perpendicular theorem।
क्या Railway Group D में Quadratic Equations आते हैं? +
हाँ, Railway Group D में Simple Quadratic Equations आती हैं। आमतौर पर factorization method से solve होती हैं। Quadratic Formula का use करने की जरूरत कम पड़ती है। NTPC CBT-2 में थोड़ी advanced level की Quadratic Equations आती हैं।
a³ + b³ + c³ − 3abc वाला Formula Railway में कैसे पूछते हैं? +
इस Formula का सबसे popular version है: “अगर a + b + c = 0, तो a³ + b³ + c³ = 3abc।” Railway में directly पूछते हैं — “यदि x + y + z = 0, तो x³ + y³ + z³ का मान क्या होगा?” — जवाब होगा 3xyz। इसे हमेशा याद रखें।
Mensuration में 3D Formulas याद कैसे करें? +
एक simple trick: Cylinder का Volume = πr²h (Base area × height)। Cone = ⅓ × Cylinder। Sphere = 4/3 × πr³ (4 और 3 याद रखो)। Surface Areas में: Sphere = 4πr² (4 circles जितना)। बेलन का CSA = परिधि × height = 2πrh। इन्हें एक बार लिखकर compare करो — pattern दिखेगा।
निष्कर्ष
इस लेख में आपने Railway Group D और NTPC के लिए Algebra Formulas in Hindi और Geometry Formulas — दोनों को एक जगह पढ़ा। Algebraic Identities, Quadratic Equations, Triangle Theorems, Circle Properties, Quadrilateral Formulas और Mensuration — यह सब मिलाकर RRB किसी भी exam में Maths section से 15-20 sure marks दिला सकते हैं।
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